Aritmética

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Tablas aritméticas para niños, Lausanne, 1835

Aritmética o aritmética (del griego palabra ἀριθμός , arithmos " número ") es el más antiguo [1] y más elemental rama de las matemáticas , que se utiliza muy popular, en tareas que van desde simples del día a día contando a avanzado la ciencia y de negocios cálculos. Esto implica el estudio de la cantidad , especialmente como resultado de operaciones que combinan números. En el uso común, se refiere a las propiedades más simples cuando se usan las tradicionales operaciones de adición , sustracción , multiplicación y división con valores más pequeños de números. Profesionales matemáticos a veces utilizar el término (superior) aritmética [2] cuando se hace referencia a los resultados más avanzados relacionados con la teoría de números , pero esto no debe confundirse con la aritmética elemental .

Contenido

[ editar ] Historia

La prehistoria de la aritmética se limita a un pequeño número de artefactos que pueden indicar concepción de la suma y la resta, el más conocido es el hueso Ishango de África central , que data de algún lugar entre 20.000 y 18.000 antes de Cristo, aunque su interpretación está en disputa. [3]

Los primeros registros escritos indican la egipcios y babilonios utilizado todas las operaciones aritméticas elementales desde el año 2000 antes de Cristo. Estos artefactos no siempre revelan el proceso específico utilizado para la solución de problemas, pero las características de la particular sistema de numeración influyen fuertemente en la complejidad de los métodos. El sistema jeroglífico de números egipcios , al igual que más tarde los números romanos , descendientes de marcas de conteo utilizados para el recuento. En ambos casos, este origen resultó en valores que utilizan un decimal de base, pero no incluye la notación posicional . Los cálculos complejos con números romanos requiere la ayuda de un tablero de cuentas o el ábaco romano para obtener los resultados.

Los primeros sistemas numéricos que incluyen la notación posicional no fuera decimal, incluyendo el sexagesimal (base 60) para el sistema de numerales babilónicos y el vigesimal (base 20) del sistema que define los números mayas . Debido a este concepto de valor, la capacidad de reutilizar los mismos dígitos para diferentes valores contribuido a métodos más simples y eficientes de cálculo.

El continuo desarrollo histórico de la aritmética moderna comienza con la civilización helenística de la antigua Grecia, a pesar de que su origen mucho más tarde que los ejemplos babilónicos y egipcios. Antes de las obras de Euclides alrededor de 300 aC, los estudios griegos en matemáticas se superponen con las creencias filosóficas y místicas. Por ejemplo, Nicómaco resumió el punto de vista de los principios de Pitágoras aproximación a los números y sus relaciones entre sí, en su Introducción a la Aritmética .

Numerales griegos , derivados del sistema egipcio hierático, también carecía de notación posicional, por lo que impuso la misma complejidad de las operaciones básicas de la aritmética. Por ejemplo, el antiguo matemático Arquímedes dedicó toda su obra El contador de arena sólo para la elaboración de una notación para un entero grande cierto.

El desarrollo gradual de indo-arábigos de manera independiente ideado el concepto de valor posicional y notación posicional, que combinó los métodos más simples para los cálculos con base decimal y el uso de un dígito que representa cero . Esto permitió que el sistema para representar consistentemente ambos enteros grandes y pequeñas. Este sistema se sustituyen todos los demás sistemas. En el siglo sexto temprano, el matemático indio Aryabhata incorporado una versión existente de este sistema en su trabajo, y experimentó con diferentes notaciones. En el siglo séptimo, Brahmagupta establecido el uso de cero como un número separado y se determinaron los resultados para multiplicación, división, suma y resta de cero y todos los otros números, excepto para el resultado de la división por cero . Su contemporáneo, el siríaco obispo Severo Sebokht describe la excelencia de este sistema como "... valiosos métodos de cálculo que superan descripción". Los árabes también aprendieron este nuevo método y lo llamó hesab.

Leibniz Stepped Reckoner fue la primera calculadora que puede realizar todas las cuatro operaciones aritméticas.

Aunque el Vigilanus Codex se describe una forma temprana de los números arábigos (omitiendo el cero) por 976 AD, Fibonacci fue el principal responsable de la difusión de su uso en toda Europa después de la publicación de su libro Liber Abaci en 1202. A su juicio, la importancia de esta "nueva" representación de los números, que el estilo "Método de los indios" (Indorum Modus latín), tan fundamental que todas las fundaciones relacionadas con matemáticas, incluyendo los resultados de Pitágoras y el algoritmo que describe los métodos para llevar a cabo cálculos reales, eran "casi un error" en comparación.

En la Edad Media , la aritmética era una de las siete artes liberales que se enseñan en las universidades.

El florecimiento de álgebra en la medieval islámica mundo y en renacentista Europa fue el resultado de la simplificación enorme de computación a través de decimal de notación.

Varios tipos de herramientas existen para ayudar en los cálculos numéricos. Los ejemplos incluyen las reglas de cálculo (para la multiplicación, la división y la trigonometría) y nomogramas , además de la eléctrica calculadora .

[ editar ] Las operaciones aritméticas

Las operaciones aritméticas básicas son la suma, resta, multiplicación y división, aunque este tema también incluye las operaciones más avanzadas, tales como la manipulación de porcentajes , raíces cuadradas , exponenciales y funciones logarítmicas . Aritmética se realiza de acuerdo con un orden de las operaciones . Cualquier conjunto de objetos sobre los que todas las cuatro operaciones aritméticas (excepto la división por cero) se pueden realizar, y donde estas cuatro operaciones obedecen las leyes usuales, se llama un campo .

[ editar ] Suma (+)

La adición es la operación básica de la aritmética. En su forma más simple, además combina dos números, los sumandos o términos , en un solo número, la suma de los números.

Adición de más de dos números se pueden ver como adición repetida; este procedimiento se conoce como la suma e incluye formas de añadir números infinitos en una serie infinita ; adición repetida de la número uno es la forma más básica de contar .

La adición es conmutativa y asociativa para que el orden de los términos se añaden en no importa. El elemento de identidad de adición (la identidad aditiva ) es 0, es decir, la adición de 0 a cualquier número que los rendimientos mismo número. Además, el elemento inverso de adición (el inverso aditivo ) es el opuesto de cualquier número, es decir, sumar el opuesto de cualquier número al número sí mismo produce la identidad aditiva, 0. Por ejemplo, el opuesto de 7 es -7, así 7 + (-7) = 0.

Además se puede dar geométricamente como en el ejemplo siguiente:

Si tenemos dos barras de longitudes 2 y 5, a continuación, si se colocan los palos uno después del otro, la longitud del palo así formado es 2 + 5 = 7.

[ edit ] Resta (-)

La resta es el opuesto de adición. Resta busca la diferencia entre dos números, el minuendo menos el sustraendo. Si el minuendo es mayor que el sustraendo, la diferencia es positiva, y si el minuendo es menor que el sustraendo, la diferencia es negativa, si son iguales, la diferencia es cero.

La resta no es conmutativa, ni asociativa. Por esta razón, a menudo es útil considerar resta como la suma del minuendo y el opuesto del sustraendo, que es a - b = a + (- b). Cuando se escribe como una suma, todas las propiedades de la adición mantenga.

Existen varios métodos para el cálculo de los resultados, algunos de los cuales son particularmente ventajosos para el cálculo de la máquina. Por ejemplo, los ordenadores digitales emplear el método de complemento a dos . De gran importancia es el método de recuento por el que el cambio se haga. Supongamos que una cantidad P se da a pagar la cantidad requerida Q, con P mayor que Q. En lugar de realizar la sustracción P - Q y contando esa cantidad en cambio, el dinero se contó a partir de Q y continuando hasta llegar a P. Aunque la cantidad eliminada debía ser igual el resultado de la resta P - Q, la resta nunca se hizo realmente y el valor de P - Q aún podría ser desconocido para el cambio de decisiones.

[ editar ] Multiplicación (x o · o *)

La multiplicación es la segunda operación fundamental de la aritmética. La multiplicación también combina dos números en un solo número, el producto. Los dos números originales se llama el multiplicador y multiplicando el, a veces llamado simplemente ambos factores.

La multiplicación se ve mejor como una operación de escalado. Si los números son imaginadas como acostado en una línea, la multiplicación por un número, por ejemplo x, mayor que 1 es el mismo que se extiende lejos de todo 0 uniformemente, de tal manera que el número 1 en sí está estirado hasta donde x era. Del mismo modo, la multiplicación por un número menor que 1 puede ser imaginado como apretando hacia 0. (De nuevo, de tal manera que va a 1 el multiplicando.)

La multiplicación es conmutativa y asociativa; además es distributiva sobre la suma y la resta. La identidad multiplicativa es 1, es decir, multiplicar cualquier número por 1, da el mismo número. Además, el inverso multiplicativo es el recíproco de cualquier número (excepto cero; cero es el único número sin un inverso multiplicativo), es decir, multiplicando el recíproco de cualquier número por el número sí mismo produce la identidad multiplicativa.

El producto de a y b se escribe como a × b o ab. Cuando a o b son expresiones escritas no simplemente con los dígitos, que también está escrito por simple yuxtaposición: ab. En los lenguajes de programación de computadoras y paquetes de software en la que sólo se pueden utilizar caracteres que normalmente se encuentran en un teclado, a menudo se escribe con un asterisco: a * b.

[ editar ] División (÷ o /)

La división es esencialmente lo contrario de la multiplicación. División encuentra el cociente de dos números, el dividendo dividido por el divisor. Cualquier dividendo dividido por cero es indefinida. Para números positivos, si el dividendo es mayor que el divisor, el cociente es mayor que uno, de lo contrario, es menor que uno (una norma similar se aplica para los números negativos). El resultado se multiplica por el divisor siempre produce el dividendo.

División no es conmutativa ni asociativa. Ya que es útil observar resta como la suma, es útil observar la división como la multiplicación de los tiempos de dividendos la reciprocidad del divisor, que es a ÷ b = a × 1 / b. Cuando se escribe como un producto, que obedece a todas las propiedades de la multiplicación.

[ edit ] aritmética decimal

Representación decimal se refiere exclusivamente, en el uso común, al escrita sistema de numeración empleando números arábigos como los dígitos de una base 10 ("decimal") notación posicional , sin embargo, cualquier sistema de numeración basado en potencias de 10, por ejemplo, griego , cirílico , romano o chinos números conceptualmente se puede describir como "notación decimal" o "representación decimal".

Los métodos modernos para cuatro operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) se elaboraron por primera vez por Brahmagupta de la India. Esto fue conocido en la Europa medieval como "Indoram Modus" o el método de los indios. Notación posicional (también conocida como "notación de valor") se refiere a la representación o codificación de números usando el mismo símbolo para los diferentes órdenes de magnitud (por ejemplo, el "lugar de las unidades", "lugar de las decenas", "centenas") y, con un punto de base , utilizando los mismos símbolos para representar fracciones (por ejemplo, el "lugar de los décimos", "lugar de los centésimos"). Por ejemplo, denota 507,36 5 centenas (10 2), además de decenas (0 10 1), más 7 unidades (10 0), más 3/10 (10 -1) más 6 centésimas (10 -2).

Cero como un número comparable a los otros dígitos básicos es un concepto que es esencial para esta notación, como es el concepto de uso de cero como un marcador de posición, y como es la definición de multiplicación y adición con cero. El uso de cero como marcador de posición y, por lo tanto, el uso de una notación posicional es primero atestiguado en el Jain texto de India titulado la Lokavibhâga , de fecha 458 AD y fue sólo en el siglo 13 que estos conceptos, transmitida a través de la beca del mundo árabe , fueron introducidos en Europa por Fibonacci [4] utilizando el sistema de numeración hindú-arábigo .

Algoritmo comprende todas las reglas para realizar cálculos aritméticos utilizando este tipo de número escrito. Por ejemplo, la adición produce la suma de dos números arbitrarios. El resultado se calcula mediante la adición repetida de un solo dígito de cada número que ocupa la misma posición, procediendo de derecha a izquierda. Una tabla de adición con diez filas y columnas diez muestra todos los valores posibles para cada suma. Si un individuo suma supera el valor de nueve, el resultado se representa con dos dígitos. El dígito más a la derecha es el valor para la posición actual, y el resultado de la posterior adición de los dígitos a la izquierda aumenta por el valor de la segunda (izquierda) dígitos, que es siempre uno. Este ajuste se denomina un acarreo de el valor uno.

El proceso para multiplicar dos números arbitrarios es similar al proceso de adición. Una tabla de multiplicar con diez filas y columnas diez listas de los resultados para cada par de dígitos. Si un producto individual de un par de dígitos excede nueve, el ajuste tienen aumenta el resultado de cualquier subsiguiente multiplicación de dígitos a la izquierda por un valor igual a la segunda (a la izquierda) dígitos, que es cualquier valor de uno a ocho (9 × 9 = 81). Los pasos adicionales definir el resultado final.

Técnicas similares existen para la resta y la división.

La creación de un correcto proceso de multiplicación depende de la relación entre los valores de dígitos adyacentes. El valor de cualquier dígito en un número depende de su posición. También, cada posición a la izquierda representa un valor diez veces mayor que la posición a la derecha. En términos matemáticos, el exponente de la base (base) de diez aumenta en uno (a la izquierda) o disminuye en uno (a la derecha). Por lo tanto, el valor arbitrario para cualquier dígito se multiplica por un valor de la forma 10 con n número entero n. La lista de valores que corresponden a todas las posiciones posibles de un solo dígito se escribe como {..., 10 2, 10, 1, 10 -1, 10 -2, ...}.

Multiplicación repetida de cualquier valor en esta lista por diez produce otro valor en la lista. En la terminología matemática, esta característica se define como cierre , y la lista anterior se describe como cerrado bajo la multiplicación. Es la base para encontrar correctamente los resultados de multiplicación usando la técnica anterior. Este resultado es un ejemplo de los usos de la teoría de los números .

[ editar ] unidad aritmética Compuesto

Compuesto [5] aritmética unidad es la aplicación de operaciones aritméticas para mixtos radix cantidades tales como pies y pulgadas, galones y pintas libras, chelines y peniques, y así sucesivamente. Antes de la utilización de sistemas basados ​​en decimal de dinero y unidades de medida, el uso de la aritmética compuesto unidad formada una parte significativa del comercio y la industria.

[ editar ] Las operaciones aritméticas básicas

Las técnicas utilizadas para la aritmética compuesto unidad fue desarrollado a lo largo de muchos siglos y está bien documentado en muchos libros de texto en varios idiomas. [6] [7] [8] [9] Además de las funciones aritméticas básicas encontradas en la aritmética decimal, compuestos aritmética unidad emplea más tres funciones:

  • Reducción donde una cantidad compuesto se reduce a una única cantidad, por ejemplo la conversión de una distancia expresada en metros, pies y pulgadas a uno expresado en pulgadas. [10]
  • Expansión, la función inversa a la reducción, es la conversión de una cantidad que se expresa como una sola unidad de medida a una unidad de compuesto, tales como la expansión de 24 oz a 1 lb, 8 oz.
  • Normalización es la conversión de un conjunto de unidades compuestas de un formulario estándar - por ejemplo reescribir "1 ft 13 en" como "2 pies 1".

El conocimiento de la relación entre las diversas unidades de medida, sus múltiplos y sus submúltiplos constituye una parte esencial de la unidad aritmética compuesto.

[ editar ] Principios de la aritmética compuesto unidad

Hay dos enfoques básicos para la aritmética compuesto unidad:

  • Reducción de expansión método donde todas las variables unidad de compuesto son reducidos a variables de una sola unidad, el cálculo realizado y el resultado expandido de nuevo a unidades compuestas. Este enfoque adecuado para los cálculos automáticos. Un ejemplo típico es el manejo de tiempo por Microsoft Excel donde todos los intervalos de tiempo son procesados ​​internamente como días y fracciones decimales de un día.
  • En marcha método de normalización en el que cada unidad se trata por separado y el problema es continuamente normalizaron como la solución desarrolla. Este enfoque, que se describe ampliamente en textos clásicos, es el más adecuado para los cálculos manuales. Un ejemplo del método de normalización en curso tal como se aplica a la adición se muestra a continuación.
Reino Unido moneda pre-decimal
4 cuartos de penique (f) = 1 centavo
12 centavos (d) = 1 chelín
20 chelines (s) = 1 libra (£)
MixedUnitAddition.svg

La operación de adición se realiza de derecha a izquierda, en este caso, peniques se procesan primero, luego chelines seguido por libra. Los números debajo de la "línea de respuesta" son resultados intermedios.

El total de la columna es de 25 peniques. Puesto que hay 12 peniques en un chelín, el número 24 se divide por 12 para obtener 2 con un resto de 1. El valor "1" se escribe en la fila de respuesta y el valor "2" traslada a la columna chelines. Esta operación se repite utilizando los valores en la columna de chelines, con el paso adicional de añadir el valor que se ha trasladado de la columna peniques. El total intermedio se divide por 20 en lugar de 12, ya que hay 20 chelines en una libra. La columna de la libra se procesa, pero como libras son la unidad más grande que se está considerando, sin valores se trasladan desde la columna de libras.

Cabe señalar que, en aras de la simplicidad, el ejemplo elegido no tenía peniques.

[ editar ] Operaciones en la práctica

A escala calibrada en unidades imperiales con una pantalla costo asociado.

Durante los siglos 19a y 20a varias ayudas fueron desarrollados para ayudar a la manipulación de unidades compuestas, en particular en aplicaciones comerciales. Las ayudas más comunes eran las cajas registradoras mecánicas que se han adaptado en países como el Reino Unido para dar cabida libras, chelines y peniques denarios y "Ready" Reckoners - libros dirigidos a los comerciantes que catalogó los resultados de los cálculos de rutina diversos, como los porcentajes o múltiplos de diversas sumas de dinero. Un folleto típico [11] que corrió para 150 páginas tabuladas múltiplos "uno hasta diez mil a los distintos precios de un centavo a una libra".

La lentitud de la aritmética compuesto unidad ha sido reconocida por muchos años - en 1586, el matemático flamenco Simon Stevin publicó un pequeño folleto llamado De Thiende ("la décima") [12] en el que declaró que la introducción universal de la moneda decimal, medidas y pesos para ser sólo una cuestión de tiempo, mientras que en la era moderna, muchos programas de conversión, como el incorporado en la calculadora suministra como una parte estándar de Microsoft Windows 7 unidades del sistema operativo compuesto de visualización en un formato reducido, en lugar decimal utilizando un formato ampliado (es decir, "2,5 pies" se muestra en lugar de "2 pies 6").

[ editar ] Teoría de los números

La aritmética término también se refiere a la teoría de números. Esto incluye las propiedades de los números enteros relacionados con la primalidad , divisibilidad , y la solución de ecuaciones en números enteros , así como la investigación moderna, que es el resultado de este estudio. Es en este contexto que se corre en todo el teorema fundamental de la aritmética y funciones aritméticas . Un curso de Aritmética por Jean-Pierre Serre refleja este uso, al igual que frases tales como la aritmética de primer orden o de la geometría algebraica aritmética. La teoría de números también se conoce como la aritmética superior, como en el título de Harold Davenport libro 's en la materia.

[ edit ] Aritmética en la educación

La educación primaria en matemáticas a menudo pone un fuerte énfasis en los algoritmos de la aritmética de los números naturales , enteros , fracciones y decimales (decimal usando el valor posicional del sistema). Este estudio es a veces conocido como algoritmo.

La aparición dificultad y sin motivación de estos algoritmos ha llevado mucho tiempo los educadores para cuestionar este plan de estudios, abogando por la enseñanza precoz de las ideas matemáticas más centrales e intuitiva. Un movimiento notable en este sentido fue la Nueva Matemática de la década de 1960 y 1970, que trató de enseñar aritmética en el espíritu de desarrollo axiomático de la teoría de conjuntos, un eco de la tendencia predominante en las matemáticas superiores. [13]

[ editar ] Véase también

[ editar ] Temas relacionados

[ editar ] Notas

  1. ^ "Matemáticas" . La ciencia ha aclarado. Consultado el 23 de octubre de 2012.  
  2. ^ Davenport, Harold , La Aritmética Superior: Una introducción a la Teoría de Números (7 ª ed.), Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido, 1999, ISBN 0-521-63446-6
  3. ^ Rudman, Peter Strom (2007) ¿Cómo sucedió Matemáticas:. Los primeros 50.000 años. Prometheus Books. p. 64. ISBN 978-1-59102-477-4 .  
  4. ^ Leonardo Pisano - página 3: "Contribuciones a la teoría de números" . Encyclopædia Britannica Online, 2006. Consultado el 18 de septiembre de 2006.
  5. ^ Walkingame, Francisco (1860). "Compañero del tutor, o bien, Aritmética Práctica Complete" . Webb, Millington & Co. pp 24-39.  
  6. ^ . Palaiseau, JFG (octubre de 1816) Metrología universelle, ancienne et moderne: ou relación de Pesas y Medidas des imperios, royaumes, Duches et principautés des quatre partes du monde [metrología universal, antiguo y moderno: o informe de las medidas y pesos de imperios, reinos, ducados y principados de todas las partes del mundo] (en francés). Bordeaux. Consultado el October 30, 2011.  
  7. ^ Jacob de Gelder (1824). Allereerste Gronden der Cijferkunst [Introducción a la Aritmética] (en holandés). 'S Gravenhage y Amsterdam: de Gebroeders Van Cleef. pp 163-176. Retrieved March 2, 2011.  
  8. ^ malestar, Fernando (1842). Theoretisch-Praktischer im Unterricht Rechnen für die niederen Classen der Regimentsschulen der Königl. Bayer. Infantrie und Cavalerie [instrucción teórica y práctica en la aritmética para las clases más bajas de la Infantería y la Caballería Real de Baviera School] (en alemán). Munich. Consultado el 20 de marzo de 2012.  
  9. ^ Enciclopedia Britannica , Vol. I, Edimburgo, 1772, Arithmetick  
  10. ^ Walkingame, Francisco (1860). "Compañero del tutor, o bien, Aritmética Práctica Complete" . Webb, Millington & Co. pp 43-50.  
  11. ^ Thomson, J (1824). The Ready Reckoner en miniatura tabla exacta que contiene de uno a mil a los distintos precios de un centavo a una libra. . Montreal. Consultado el 25 de marzo de 2012.  
  12. ^ O'Connor, John J. ; Robertson, Edmund F. (enero de 2004), "Aritmética" , Historia de las Matemáticas MacTutor archivo , de la Universidad de St Andrews   .
  13. ^ matemáticamente correcto: Glosario de Términos

[ editar ] Referencias

[ editar ] Enlaces externos